Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，若

CB

=3

BF

，则直线l的斜率为

±2

2

．

Answer 1

分析：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（

p

2

，0），准线方程：x=-

p

2

，由过焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，
知C点横坐标为x_c=-

p

2

．设直线l方程y=k（x-

p

2

）．由

CB

=3

BF

，知B为

CF

四等分点．设B（a，b），则B（

p

4

，±

2 p

2

），代入直线方程，能求出直线l的斜率．

解答：解：∵抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（

p

2

，0），准线方程：x=-

p

2

，
过焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，
∴C点横坐标为x_c=-

p

2

．
由于直线l过F（

p

2

，0），故设方程y=k（x-

p

2

）．
∵

CB

=3

BF

，
∴B为

CF

四等分点，
设B（a，b），则a=

p

4

，b=±

2 p

2

．
所以B（

p

4

，±

2 p

2

），代入直线方程，
得-

p

4

k=±

2

2

p，，
解得k=±2

2

．
故答案为：±2

2

．

点评：本题考查直线和抛物线的位置关系，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．