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过定点P(2,1)作直线l,分别与x轴、y轴正向交于A、B两点,求使△AOB面积最小时的直线方程.

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解：显然所求直线l的斜率存在且小于0.设其为k(k＜0),则l的方程为y-1=k(x-2).

令y=0,得A(2-,0);令x=0,得B(0,1-2k).

∴S_△OAB=|OA|·|OB|=|2-|·|1-2k|=(2-)·(1-2k)=(4--4k),其中k＜0,--4k≥2=4.

当且仅当-=-4k,即k=-时,--4k的最小值为4.此时S_△OAB的最小值为(4+4)=4.故所求直线方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.

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