Question

【题目】已知函数f（x）＝－2＋lnx．

（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）利用导数求单调性的步骤进行即可；（2）函数f（x）在区间[1,2]上为单调函数，等价于在区间[1,2]上，f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，然后转化为最值问题来处理．

试题解析：（1）当a＝1时，f（x）＝3x－2x2＋ln x，其定义域为（0，＋∞），

则f′（x）＝－4x＋3＝＝（x＞0），

当x∈（0,1）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在区间（0,1）上单调递增；

当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减．

所以f（x）的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1，＋∞）．

（2）由题易得f′（x）＝－4x＋（x＞0），

因为函数f（x）在区间[1,2]上为单调函数，所以在区间[1,2]上，f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，

即－4x＋≥0或－4x＋≤0在x∈[1,2]时恒成立，即≥4x－或≤4x－（1≤x≤2），即≥max或≤min，其中1≤x≤2．

令h（x）＝4x－（1≤x≤2），易知函数h（x）在[1,2]上单调递增，故h（1）≤h（x）≤h（2）．

所以≥h（2）或≤h（1），即≥4×2－＝，≤4×1－1＝3，

解得a＜0或0＜a≤或a≥1． 故a的取值范围为（－∞，0）∪（0，]∪[1，＋∞）．