Question

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

（Ⅰ）设，试求函数的表达式；

（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

【解析】

（Ⅲ）解法1是考虑到函数在上单调递增这个性质，利用，利用同向不等式相加性得到

，结合

 

 ，

 ∴切线的方程为：，

又切线过点，

，

把（ * ）式代入,得,

化简，得，

，．    （3）

把（*）式代入（3），解得．

存在，使得点、与三点共线，且 ．

（Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，

，

则．

．