Question

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

（Ⅰ）设，试求函数的表达式；

（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

【解析】

，结合

进而得到，由于，于是得到，求出的取值范围，进 ，

 ∴切线的方程为：，

由（1）、（2），可得是方程的两根，

  （ * ）

，

化简，得，

解法：依题意，当区间的长度最小时，

得到的最大值，即是所求值．

，长度最小的区间为

当时，与解法相同分析，得，