Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1两焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求证：tan

α

2

•cot

β

2

=

c-a

c+a

．

Answer 1

分析：在△PF₁F₂中，

|PF1|

sinβ

=

|PF2|

sinα

=

|F1F2|

sin(α+β)

，所以

sin(α+β)

sinβ-sinα

=

|F1F2|

|PF1|-|PF2|

=

c

a

，由此能够推导出tan

α

2

•cot

β

2

=

c-a

c+a

．

解答：解：在△PF₁F₂中，

|PF1|

sinβ

=

|PF2|

sinα

=

|F1F2|

sin(α+β)

，
∴

sin(α+β)

sinβ-sinα

=

|F1F2|

|PF1|-|PF2|

=

c

a

，
∴asin

α+β

2

=csin

β-α

2

，
∴asin

α

2

cos

β

2

+acos

α

2

sin

β

2

=csin

β

2

cos

α

2

-ccos

β

2

sin

α

2

∴（a+c）sin

α

2

cos

β

2

=(c-a)cos

α

2

sin

β

2

，
∴tan

α

2

•cot

β

2

=

c-a

c+a

．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．