Question

有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=13,BC=10.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处.

(1)若希望点P到三镇距离的平方和最小，点P应位于何处？

(2)若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

Answer 1

(1)解：设P(0,y)，P到三镇距离的平方和为f(y).

f(y)=2(25+y²)+(12-y)²=3(y-4)²+146.

    当y=4时，f(y)_min=146.∴P为(0,4).

(2)解法一：设P到三镇的最远距离为z,

|PA|=|12-y|,|PB|=|PC|=,

    则z=max{|PA|,|PB|}.

    作出z=|12-y|,z=的图象.

    两图象交点横坐标为.

    当y≤时，z=|y-12|=12-y;

    当y＞时，z=.

∴y=时，z最小.

解法二：z=

    即z=

    当y≤时,z为减函数,

∴y=时，z≥12-=;

    当y＞时，z为增函数.z＞.

∴y=时，z_min=.

∴满足条件的P点坐标为(0,).