Question

如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，．

（Ⅰ）求证：BE//平面ADF；
（Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB =，EF =，则另一边BC的长为何值时，二面角B-EF-D的大小为45°？

Answer 1

（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）

解（Ⅰ）法1：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM．
因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM = CD且EM //CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF．                                   6分

法2：以直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DF为z轴，建立空间直角坐标系．则平面ADF的一个法向量为．
设AB = a，BC = b，CE = c，则点B、E的坐标分别为（b，a，0）和（0，a，c），那么向量．可知，得，而直线BE在平面ADF的外面，所以BE//平面ADF．
（Ⅱ）由EF =，EM =" AB" =，得FM = 3且．
由可得FD = 4，从而得CE =1．     8分
设BC = a，则点B的坐标为（a，，0）．又点E、F的坐标分别为（0，，1）和（0，0，4），所以，．
设平面BEF的一个法向量为，则，解得一组解为，所以．                  10分
易知平面DEF的一个法向量为，可得

由于此时就是二面角B-EF-D的大小，所以，可得．
所以另一边BC的长为时，二面角B-EF-D的大小为45°．        12分