Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与直线垂直，椭圆经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线经过定点.

【解析】试题分析：

（1）根据直线与直线垂直可得，从而得到，再由点在椭圆上可求得，即可得椭圆的方程．（2）当直线的斜率都存在时，设的方程为，与椭圆方程联立消元后根据根据系数的关系可得点的坐标，同理可得点坐标，从而可得直线的方程，通过此方程可得直线过定点．然后再验证当直线的斜率不存在时也过该定点．

试题解析：

（1）因为直线与直线垂直，

所以（为坐标原点），

即，

所以．

因为点在椭圆上，所以，

由，解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）①当直线的斜率都存在时，

设直线的方程为，

则直线的方程为，

由消去x整理得，

设，

则，

由中点坐标公式得，

用代替点M坐标中的可得．

所以直线的方程为，

令，得，

所以直线经过定点．

②当直线或的斜率不存在时，可知直线为轴，也经过定点．

综上所述，直线经过定点．