Question

【题目】已知函数， （为自然对数的底数）．

（Ⅰ）当时，求的最小值；

（Ⅱ）若函数恰有两个不同极值点．

①求的取值范围；

②求证： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ，②见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得的最小值；（Ⅱ）①恰有两个极值点，等价于在上恰有两个不同零点，当时， 在恒成立， 在上单调递减，不合要求；当时，研究函数的单调性结合零点存在定理可得的取值范围，②不妨设，则有： ，可得，令，原不等式等价于， ，验证函数的最大值小于零即可得结论.

试题解析：（Ⅰ） ， ， ，

所以在上单调递减，在上单调递增，

，

即时，恒有，

故在上单调递增， ．

（Ⅱ），要恰有两个极值点，

等价于在上恰有两个不同零点．

，

当时， 在恒成立， 在上单调递减，不合要求；

当时， 在上单调递减，在上单调递增，

而，由，

∴， ，

此时， ，

故当时， 在与上各恰有一个零点，

即当时函数有两个极值点．

另法：考查

②不妨设，则有： ，两式相加与相减得： ，

，而，

，令，

， ， ，

考查函数， ， 恒成立于，

在上单调递增，则恒有．

即， 成立，

故命题得证．