Question

已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x）在x∈（0，1）时f(x)=

2x

4x+1

，
（1）试求f（x）的解析式；
（2）试判断并证明f（x）在（0，1）上的单调性；
（3）当λ取何值时，不等式λ4^x-2^x+λ＞0 在x∈（0，1）上有实数解？

Answer 1

分析：（1）由奇函数性质可得f（-0）=-f（0），由此可求f（0）；当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），由已知表达式可求f（-x），根据奇函数性质可得f（x）与f（-x）的关系，从而可得f（x），综上可得f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）x∈（0，1）时f(x)=

2x

4x+1

，利用函数单调性的定义即可作出判断证明；
（3）令t=2^x，易求t的范围为（1，2），则λ4^x-2^x+λ＞0 化为λt²-t+λ＞0，分离出参数λ后转化求函数的最值即可解决；

解答：解：（1）∵f（x）为（-1，1）上的奇函数，
∴f（-0）=-f（0），即f（0）=-f（0），解得f（0）=0；
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
∵x∈（0，1）时f(x)=

2x

4x+1

，
∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

，
又f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-

2x

1+4x

；
∴f(x)=

2x 4x+1 ，x∈(0，1) 0，x=0 - 2x 1+4x ，x∈(-1，0)

．
（2）f（x）在（0，1）上单调递减，证明如下：
x∈（0，1）时f(x)=

2x

4x+1

，
任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，2x1+x2-1＞0，4x1+1＞0，4x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上是减函数；
（3）令t=2^x，∵x∈（0，1），∴t∈（1，2），
则λ4^x-2^x+λ＞0 化为λt²-t+λ＞0，即λ＞

t

t2+1

，
∴不等式λ4^x-2^x+λ＞0 在x∈（0，1）上有实数解，等价于λ＞

t

t2+1

在（1，2）上有实数解，
∵

t

t2+1

=

1

t+ 1 t

，且t+

1

t

在（1，2）上递增，
∴

1

t+ 1 t

在（1，2）上递减，
∴

1

2+ 1 2

＜

1

t+ 1 t

＜

1

1+ 1 1

，即

2

5

＜

1

t+ 1 t

＜

1

2

，
∴λ＞

2

5

，即λ＞

2

5

时不等式λ4^x-2^x+λ＞0 在x∈（0，1）上有实数解．

点评：本题考查函数奇偶性的应用、单调性的判断证明、不等式的求解，考查转化思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．