题目内容

已知椭圆C的方程为 $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0），双曲线 $数学公式$ - $数学公式$ =1的两条渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．（如图）
（1）当l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
（2）当 $数学公式$ =λ $数学公式$ 时，求λ的最大值．

解：（1）∵双曲线的渐近线为y=± $\text{[math]}$ x，两渐近线夹角为60°，
又 $\text{[math]}$ ＜1，∴∠POx=30°，即 $\text{[math]}$ =tan30°= $\text{[math]}$ ．
∴a= $\text{[math]}$ b．
又a²+b²=4，
∴a²=3，b²=1．
故椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ +y²=1．
（2）由已知l：y= $\text{[math]}$ （x-c），与y= $\text{[math]}$ x解得P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
由 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ 得A（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
将A点坐标代入椭圆方程得（c²+λa²）²+λ²a⁴=（1+λ）²a²c²．
∴（e²+λ）²+λ²=e²（1+λ）²．
∴λ²= $\text{[math]}$ =-[（2-e²）+ $\text{[math]}$ ]+3≤3-2 $\text{[math]}$ ．
∴λ的最大值为 $\text{[math]}$ -1．
分析：（1）要求椭圆方程即求a、b的值，根据l₁与l₂的夹角为60°可以得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由双曲线的距离为4可以得a²+b²=4，进而解关于a，b的方程组可以得a、b，写出椭圆的标准方程．
（2）根据 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l₁的交点，故需求l的方程．将l与l₂的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标．将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值．
点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查椭圆的标准方程，考查双曲线的应用，考查函数的最值，本题是一个综合题目．