Question

4．已知△ABC的顶点A（5，1），∠B的内角平分线BN所在直线方程为x+y-5=0，AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0．求：
（1）顶点B的坐标；
（2）直线BC方程．

Answer 1

分析 （1）设出AB的中点M，表示出点B的坐标，利用点B、D分别在直线BN、CM上，列出方程组求出M、B的坐标；
（2）求出点A关于∠B平分线BN的对称点A′，由A′在BC上，求出BA′的方程即可．

解答 解：（1）设AB中点为M（x₀，y₀），则B（2x₀-5，2y₀-1），
∵点B、D分别在直线BN、CM上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{2x}_{0}-5）+（{2y}_{0}-1）-5=0}\\{{2x}_{0}{-y}_{0}-5=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{7}{2}}\\{{y}_{0}=2}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{7}{2}$，2），B（2，3）；
（2）设点A关于∠B平分线BN的对称点为A′（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-1}{m-5}=1}\\{\frac{m+5}{2}+\frac{n+1}{2}-5=0}\end{array}\right.$，
解方程组，得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=0}\end{array}\right.$，
∴点A′（4，0）；
又∵点A′在BC上，
∴即BA′方程为$\frac{x-4}{2-4}$=$\frac{y-0}{3-0}$，
整理得3x+2y-12=0，
即直线BC的方程为3x+2y-12=0．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了点关于直线对称的应用问题，是综合性题目．