Question

三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A-C）=2sin2C．
（1）求内角B的余弦值；
（2）若b=

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ） 三角形ABC中，由条件化简可得C=90°，故有a=2c．再由b²=ac利用正弦定理可得，sin²B=sinAsinC，化简求得cosB的值．
（Ⅱ）根据b=

3

，求得ac=b²的值，求得sinB=

1-cos2B

的值，再根据△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB，计算求得结果．

解答： 解：（Ⅰ） 三角形ABC中，∵sinB+sin（A-C）=2sin2C，
∴sin（A+C）+sin（A-C）=4sinCcosC，∴sinA=2sinC，或cosC=0．
∴a=2c （不满足a，b，c成公比小于1的等比数列，故舍去），或C=90°．
由边a，b，c成公比小于1的等比数列，可得b²=ac，∴sin²B=sinAsinC=sinA=cosB，
∴cos²B+cosB-1=0，∴cosB=

-1+ 5

2

，或cosB=

-1- 5

2

（舍去）．
综上可得，cosB=

-1+ 5

2

．
（Ⅱ）∵b=

3

，cosB=

-1+ 5

2

，∴ac=b²=3，sinB=

-1+ 5 2

，
∴△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB=

3 2 5 -2

4

．

点评：本题主要考查两角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．