Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

c-an+1

（c为常数，n∈N^*）且a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列
（2）求c的值
（3）设b_n=a_n•a_n+1，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜

1

2

．

Answer 1

（1）证明：∵a_n+1=

an

c•an+1

∴

1

an+1

=

c•an+1

an

=

1

an

+c
∴数列{

1

an

}是等差数列；
（2）由（1）知数列{

1

an

}是以1为首项，c为公差的等差数列，
∴

1

an

=1+（n-1）c=cn+1-c，
∴a_n=

1

cn+1-c

∴a₂=

1

c+1

，a₅=

1

4c+1

，
因为a₁，a₂，a₅成等比数列，
所以(

1

c+1

)2=

1

4c+1

×1，
解得c=0或c=2．
当c=0时，a₁=a₂=a₅，不符合题意舍去，
故c=2；
（3）证明：由（2）知a_n=

1

2n-1

，b_n=a_n•a_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴S_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+ 

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

故S_n＜

1

2

．