Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 ，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 ，A，B两点的极坐标分别为 ．
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，化简得： ，

消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，

∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．

由ρcos（θ+ ）=﹣ ，化简得 ρcosθ﹣ ρsinθ=﹣ ，

即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，

则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0

（2）解：将A（2， ），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），

∴|AB|= =2 ，

设P点的坐标为（﹣5+ cost，3+ sint），

∴P点到直线l的距离为d= = ，

∴dmin= =2 ，

则△PAB面积的最小值是S= ×2 ×2 =4．

【解析】（1）由圆C的参数方程消去t得到圆C的普通方程，由直线l的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ转化为直角坐标方程即可；（2）将A与B的极坐标化为直角坐标，并求出|AB|的长，根据P在圆C上，设出P坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB面积的最小值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用圆的参数方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握圆的参数方程可表示为．