Question

14．已知R上的奇函数f（x），f（x+2）=f（x），x∈[0，1]时f（x）=1-|2x-1|，定义：f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n≥2，n∈N，则f₃（x）=$\frac{9}{8（x-1）}$在[-1，3]内所有不等实根的和为14．

Answer 1

分析 逐次作出f₁（x），f₂（x），f₃（x）的函数图象，观察f₃（x）与函数y=$\frac{9}{8（x-1）}$图象交点的横坐标，作图求解即可．

解答 解：∵定义在R上的奇函数f（x），f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为2的奇函数．
∵x∈[0，1]时，f（x）=1-|2x-1|．
∴函数f₁（x）的图象如下图所示：

∵f₂（x）=f（f₁（x）），
∴函数f₂（x）的图象如下图所示：

∵f₃（x）=f（f₂（x）），
∴作函数f₃（x）与函数y=$\frac{9}{8（x-1）}$图象如下图所示：

由图可知两函数图象共有14个交点，且两两关于（1，0）点对称，
故f₃（x）=$\frac{9}{8（x-1）}$在[-1，3]内所有不等实根的和为14．
故答案为14．

点评 本题考查的知识点是函数的零点个数与方程根的关系，本题图象比较难画，属于难题．