题目内容

求曲线y=的斜率为-3的切线方程.

解：y′=()′==.

由于曲线在M（x0,y0）处的切线斜率为-3,则y′|==-3,

解得x02=1,即x0=±1.

当x0=1时，y0===7.

当x0=-1时，y0==-7,

即M(1,7)或M(-1,-7).

所以所求的切线方程为y-7=-3(x-1),或y+7=-3(x+1),

即3x+y-10=0,或3x+y+10=0.

练习册系列答案
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设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点M的轨迹曲线为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）设过定点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，且∠EOF=90°（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的值；
（III）设A（2，0），B（0，
3
）是曲线C的两个顶点，直线y=mx（x＞0）与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．
（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
曲线y=f（x）=ax3+bx2+cx，当x=1-
3
时，f（x）有极小值，当x=1+
3
处有极大值，且在x=1处切线的斜率为
3
2
．
（I）求f（x）；
（II）曲线上是否存在一点P，使得y=f（x）的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由．
（2013•奉贤区二模）动圆C过定点F(
p
2
，0)，且与直线x=-
p
2
相切，其中p＞0．设圆心C的轨迹Γ的程为F（x，y）=0
（1）求F（x，y）=0；
（2）曲线Γ上的一定点P（x0，y0）（y0≠0），方向向量
d
=(y0，-p)的直线l（不过P点）与曲线Γ交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为kPA，kPB，计算kPA+kPB；
（3）曲线Γ上的两个定点P0（x0，y0）、Q0(x0′，y0′)，分别过点P0，Q0作倾斜角互补的两条直线P0M，Q0N分别与曲线Γ交于M，N两点，求证直线MN的斜率为定值．

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