Question

从一个半径为1的圆形铁片中剪出圆心角为x弧度的一个扇形，并将其卷成一个圆锥（不考虑连接用料），若圆锥的容积达到最大时，则x的值是

2 6

3

π

．

Answer 1

分析：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，求出r²+h²=R²，表示出体积表达式，利用导数求出函数的最大值，得到结果．

解答：解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r²+h²=R²，
因此，V=

1

3

πr²h
=

1

3

π（R²-h²）h=

1

3

πR²h-

1

3

πh³（0＜h＜R）．…（3分）
V′=

1

3

πR²-πh²．
令V'=0，即

1

3

πR²-πh²=0，得 h=

3

3

R．…（5分）
当 0＜h＜

3

3

R时，V'＞0．
当

3

3

R＜h＜R时，V'＜0．
所以，h=

3

3

R时，V取得极大值，并且这个极大值是最大值．…（8分）
把 h=

3

3

R代入r²+h²=R²，得 r=

6

3

R．
由Rx=2πr，得 x=

2 6

3

π．
故答案为：

2 6

3

π．

点评：本题考查圆锥与扇形展开图的关系，体积的计算，考查计算能力，导数的应用，解题的关键是建立起体积的函数模型，理解函数的单调性与最值的关系是解本题的重点．