题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
为
的中点，
与
相交于点
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）先证明
面
得到
，再证明
得到
平面
.
（Ⅱ）以
为原点，分别以
为
轴，
轴，
轴的建立直角坐标系.计算平面
的法向量为
，再利用向量夹角公式得到答案.
解：（Ⅰ）
由已知
平面
，可得
，
，
由题意得，为直角梯形，如图所示，
，所以
为平行四边形，
所以
，所以
.
又因为
，且
，
所以面，
故.
在直角梯形中，
，
因为面，所以，
所以
为等腰直角三角形，为斜边
上的中点，
所以.且
，
所以平面
（Ⅱ）法一：以为原点，分别以为轴，轴，轴的建立直角坐标系.
不妨设
，
，
，
，
设
是平面的法向量.
满足
，
所以
，
则令
，解得
法二：（等体积法求
到平面的距离）
设
，计算可得
，
，
，
，
解得
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