Question

【题目】已知数列满足，且

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）若，求证

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）数列{an}满足3（n+1）an＝nan+1（n∈N*），且a1＝3，可得，利用“累乘求积”方法即可得出．

（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

（3），可得．利用“裂项求和方法”与数列的单调性即可得出．

（1）解：∵数列{an}满足3（n+1）an＝nan+1（n∈N*），且a1＝3，∴，

∴an…3n﹣13＝n3n．

（2）解：数列{an}的前n项和Sn＝3+2×32+3×33+…+n3n，

3Sn＝32+2×33+…+（n﹣1）3n+n3n+1，

∴﹣2Sn＝3+32+…+3n﹣n3n+1n3n+1，

∴Sn3n+1．

（3），∴．

∴

1∈．

∴1．