Question

15．已知x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x+3y-7≥0}\\{2x+y-24≤0}\\{3x-y-6≥0}\end{array}\right.$，试求z=x+y的最大值或最小值及相应的x，y的值．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求目标函数z=x+y的最值和最优解．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，
由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，
直线y=-x+z的截距最小，此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-7=0}\\{3x-y-6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），
代入目标函数z=x+y得z=$\frac{5}{2}$+$\frac{3}{2}$=2．
即目标函数z=x+y的最小值为2．
当直线y=-x+z经过点B时，
直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-24=0}\\{3x-y-6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=12}\end{array}\right.$，即B（6，12），
代入目标函数z=x+y得z=6+12=18．
即目标函数z=x+y的最大值为18．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．