Question

如图，已知正方形ABCD和ADMN边长都为2，且平面ABCD⊥平面ADMN，E是BC的中点，F是MD的中点，
（1）求点A到平面NDE的距离．
（2）求证：CF∥平面NDE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）分别以DA，DC，DM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A到平面NDE的距离．
（2）由

CF

=（0，-2，1），

n

=(-2，1，2)，得

CF

⊥

n

，由此能证明CF∥平面NDE．

解答： （1）解：分别以DA，DC，DM为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），N（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），
则

DN

=(2，0，2)，

DE

=(1，2，0)，

DA

=(2，0，0)，
设平面NDE的法向量

n

=(a，b，c)，
则

n • DN =2a+2c=0 n • DE =a+2b=0

，
取b=1，得

n

=(-2，1，2)，
∴点A到平面NDE的距离d=

| DA • n |

| n |

=

|-4|

9

=

4

3

．
（2）证明：∵

CF

=（0，-2，1），

n

=(-2，1，2)，
∴

CF

•

n

=0-2+2=0，
∴

CF

⊥

n

，
∵CF?平面NDE，∴CF∥平面NDE．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．