题目内容

函数y=
2x2-6x+9
+
2x2-10x+17
的值域是
[2
5
，+∞）
[2
5
，+∞）
．
分析：由于函数y=
2x2-6x+9
+
2x2-10x+17
=
2(x-
3
2
)2+
9
2
+
2((x-
5
2
)2+
9
2
，根据式子的几何意义可得，转化为求一动点M（x，0）定点A（
3
2
，
3
2
）与B（
5
2
，
3
2
）的距离和的最值，作A（
3
2
，
3
2
）关于x轴对称的点C（
3
2
-
3
2
）则AM=CM，可得y=
2x2-6x+9
+
2x2-10x+17
=
2
（M+BM）=
2
（MB+MC），结合图象可知当三点共线时，MB+MC最小，代入可求答案．
解答：解：函数y=
2x2-6x+9
+
2x2-10x+17
=
2(x-
3
2
)2+
9
2
+
2((x-
5
2
)2+
9
2

根据式子的几何意义可得，要求函数的值域，转化为求一动点M（x，0）定点A（
3
2
，
3
2
）与B（
5
2
，
3
2
）的距离和的最值
A（
3
2
，
3
2
）关于x轴对称的点C（
3
2
-
3
2
）则AM=CM，
所以，y=
2x2-6x+9
+
2x2-10x+17
=
2(x-
3
2
)2+
9
2
+
2((x-
5
2
)2+
9
2

=
2
（M+BM）=
2
（MB+MC）
当三点共线时，MB+MC最小，此时BC=
(
3
2
-
5
2
)2+(
3
2
+
3
2
)2
=
10

所以，y≥
2
BC=2
5

故答案为：[2
5
，+∞)
点评：本题主要考查了函数的值域的求解，解题的关键是根据已知函数解析式，联系两点间的距离公式，从而转化求在x轴上找一点，其到两定点的距离和d有最小值，体现了转化思想与数形结合思想在解题中的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=2x2-6x+3，x∈[-1，2]，则y的值域是
[-
3
2
  ， 11]
[-
3
2
  ， 11]
．
求二次函数y=-2x2+6x在定义域x∈[-2，1]上的值域．
求函数y=
2x2-6x+9
的值域．
已知函数y=2x2-6x+3，x∈[-1，2]，则y的值域是    ．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网