Question

已知函数f（x）=m-

2

2x+1

为奇函数，g（x）=ax²+5x-2a（a＞0）．
（1）若f（1-x）+f（1-x²）＞0，求x的取值范围；
（2）对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=m-

2

2x+1

为奇函数，满足f（-x）+f（x）=0，可得m的值，进而可分析出函数的单调性，结合函数的奇偶性，将不等式f（1-x）+f（1-x²）＞0化为二次不等式，解答可得答案．
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，两个函数的值域满足[0，

1

3

]⊆[-2a.5-a]，构造关于a的不等式组，解不等式组可得答案．

解答：解：（1）∵函数f（x）=m-

2

2x+1

为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=m-

2

2-x+1

+m-

2

2x+1

=2m-

2•2x+2

2x+1

=2m-2=0
解得m=1
∴f（x）=1-

2

2x+1

则f（x）在R为增函数
故f（1-x）+f（1-x²）＞0可化为f（1-x）＞-f（1-x²）
即f（1-x）＞f（x²-1）
即1-x＞x²-1
即x²+x-2=（x+2）（x-1）＜0
解得x∈（-2，1）
（2）当x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[f（0），f（1）]=[0，

1

3

]
∵函数g（x）=ax²+5x-2a（a＞0）的图象是开口朝上，且以直线x=-

5

2a

为对称轴的抛物线．
∴函数g（x）=ax²+5x-2a（a＞0）在[0，1]上为增函数
当x₂∈[0，1]时，g（x₂）∈[g（0），g（1）]=[-2a.5-a]
若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，
则[0，

1

3

]⊆[-2a.5-a]
即

a＞0 -2a≤0 5-a≥ 1 3

解得：a∈（0，

14

3

]

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，存在性问题，是函数图象和性质的综合应用，难度均大．