题目内容
已知函数f（x）的定义域为[-3，+∞），部分函数值如表所示，其导函数的图象如图所示，若正数a，b满足f（2a+b）＜1，则| b+2 |
| a+2 |
（
，4）
| 2 |
| 5 |
（
，4）
；| 2 |
| 5 |
| x | -3 | 0 | 6 |
| f（x） | 1 | -1 | 1 |
分析：由导数图象可知当-3＜x＜0时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞0时，f'（x）＞0，函数单调递增．利用函数的单调性进行求解．
解答：解：由表格可得f（-3）=f（6）=1．
由导数图象可知当-3＜x＜0时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞0时，f'（x）＞0，函数单调递增．
若正数a，b满足f（2a+b）＜1，则f（2a+b）＜f（6），
即
，作出不等式组对应的平面区域如图：
的几何意义表示为动点P（a，b）到定点C（-2，-2）点的斜率的取值范围．
由题意知A（0，6），B（3，0），
所以AC的斜率为
=4，BC的斜率为
=
，
所以则k=
的取值范围是
＜k＜4．
故答案为：（
，4）
由导数图象可知当-3＜x＜0时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞0时，f'（x）＞0，函数单调递增．
若正数a，b满足f（2a+b）＜1，则f（2a+b）＜f（6），
即
|
| b+2 |
| a+2 |
由题意知A（0，6），B（3，0），
所以AC的斜率为
| -2-6 |
| -2 |
| -2-0 |
| -2-3 |
| 2 |
| 5 |
所以则k=
| b+2 |
| a+2 |
| 2 |
| 5 |
故答案为：（
| 2 |
| 5 |
点评：本题主要考查了导数的应用，直线的斜率以及简单的线性规划问题，涉及的知识点较多，综合性较强．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
