Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见详解；(2) .

【解析】

(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得的取值范围.

(1)对求导得.所以有

当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；

当时，区间上单调递增；

当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

(2)

若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.

所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.

若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.

所以，而，所以.即的取值范围是.

综上得的取值范围是.