Question

12．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{6}$．

Answer 1

分析 先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．

解答 解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：
其中正三角形ABC的面积S_三角形=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=$\sqrt{3}$．
满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，
则S_阴影=$\frac{1}{2}$π，
则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是：
P=$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{6}$．
故答案为：$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{6}$．

点评 本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．