Question

已知关于x的不等式（x-1）²＜ax²有三个整数解，则实数a的取值范围为

(

4

9

，

9

16

]

．

Answer 1

分析：（x-1）²＜ax²化为（1-a）x²-2x+1＜0，由题意可知1-a＞0①，且△=4-4（1-a）＞0②，由此可得0＜a＜1，解出二次不等式，根据解的区间端点范围可得a的范围．

解答：解：（x-1）²＜ax²化为（1-a）x²-2x+1＜0，
由不等式有三个整数解，知1-a＞0①，且△=4-4（1-a）＞0②，
由①②可得0＜a＜1，
解不等式（1-a）x²-2x+1＜0，得

1

1+ a

＜x＜

1

1- a

，
∵

1

2

＜

1

1+ a

＜1，
∴要使不等式有三个整数解，须有3＜

1

1- a

≤4，解得

4

9

＜a≤

9

16

，
∴实数a的取值范围为（

4

9

，

9

16

]，
故答案为：（

4

9

，

9

16

]．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．