题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ +y²=1的左右焦点分别为F₁，F₂，过F的值线l交椭圆C于A、B两点，过F₂且平行于l的直线l₁交椭圆C与M、N两点．
（1）求△ABF₂的周长；
（2）求△ABM面积的最大值．

解：（1）由椭圆的定义可得△ABF₂的周长=|AB|+AF₂|+|BF₂|=4a=8；
（2）设直线l的倾斜角为θ，当θ≠ $\text{[math]}$ 时，l：y=tanθ（x+ $\text{[math]}$ ），l₁：y=tanθ（x- $\text{[math]}$ ）
点M到直线l的距离即为两条平行线间的距离：d=2 $\text{[math]}$ sinθ
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴S_△ABM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ =2
当且仅当sinθ= $\text{[math]}$ 时，取等号
当θ= $\text{[math]}$ 时，|AB|=1，d=2 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$
∴△ABM面积的最大值为2．
分析：（1）由椭圆的定义可得△ABF₂的周长；
（2）设直线l的倾斜角为θ，当θ≠ $\text{[math]}$ 时，求出点M到直线l的距离即为两条平行线间的距离，|AB|，计算三角形的面积，利用基本不等式求最值；当θ= $\text{[math]}$ 时，|AB|=1，d=2 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，由此可得△ABM面积的最大值．
点评：本题考查椭圆的定义，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．