已知N(1.0).动点M满足$k+{^2}=1+K{(\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON})^2}$.k∈R.其中O是坐标原点.(1)求动点M的轨迹方程.并判断曲线类型,(2)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线.其离心率e满足$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤e≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.求实数k的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知N（1，0），动点M满足$k+{（\overrightarrow{OM}）^2}=1+K{（\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}）^2}$，k∈R，其中O是坐标原点，
（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
（2）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤e≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求实数k的取值范围．

分析（1）利用动点M满足$k+{（\overrightarrow{OM}）^2}=1+K{（\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}）^2}$，建立方程，对k讨论，即可得出结论；
（2）利用（1）的结论，结合离心率e满足$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤e≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求实数k的取值范围．

解答解：（1）设M（x，y），则k+x²+y²=1+kx²，
∴（1-k）x²+y²=1-k，
k=1，则y=0，表示x轴；
k=0，则x²+y²=1，表示以原点为圆心，1为半径的圆；
k＜0，则表示焦点在y轴上的椭圆；
0＜k＜1，则焦点在x轴上的椭圆；
k＞1，则表示焦点在x轴上的双曲线；
（2）k＜0，则表示焦点在y轴上的椭圆，离心率e=$\sqrt{\frac{-k}{1-k}}$，∴$\frac{\sqrt{3}}{3}≤\sqrt{\frac{-k}{1-k}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴-1≤k≤-$\frac{1}{2}$；
0＜k＜1，则焦点在x轴上的椭圆，离心率e=$\sqrt{k}$，∵e满足$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤e≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$\frac{1}{3}$≤k≤$\frac{1}{2}$．
∴实数k的取值范围是-1≤k≤-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$≤k≤$\frac{1}{2}$．