Question

3．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，G是EF的中点，AG=1
（1）证明：AG⊥平面ABCD；
（2）求直线BF与平面ACE所成角的正弦值；
（3）判断线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出$\frac{AM}{AC}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形AG⊥EF．推证 AG⊥AD，AG⊥平面ABCD，线面的转化 AG⊥CD．
（2）以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，可求平面ACE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）．即可求解BF与平面ACE所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$．
（3）根据中点推证GF∥MN，GF=MN．四边形GFNM是平行四边形． 由直线平面平行的判定定理推证GM∥平面ABF；

解答 解：（1）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，
所以AG⊥EF．（1分）
又因为EF∥AD，
所以AG⊥AD．（2分）
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AG?平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD．（4分）
（2）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．
以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
由于AG=1，则E（0，1，1），F（0，-1，1），
所以$\overrightarrow{BF}$=（-4，-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（4，4，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1）．…（8分）
设平面ACE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}$=0，得$\left\{\begin{array}{l}{4x+4y=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）．
因为BF与平面ACE所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
所以直线BF与平面ACE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{9}$．…（10分）
（3）存在点M在线段AC上，且 $\frac{AM}{MC}=\frac{1}{3}$，使得：GM∥平面ABF．
证明：如图，过点M作MN∥BC，且交AB于点N，连结NF，
因为 $\frac{AM}{MC}=\frac{1}{3}$，所以$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{4}$，
因为 BC=2EF，点G是EF的中点，
所以 BC=4GF，
又因为 EF∥AD，四边形ABCD为正方形，
所以 GF∥MN，GF=MN．
所以四边形GFNM是平行四边形．
所以 GM∥FN．
又因为GM?平面ABF，FN?平面ABF，
所以 GM∥平面ABF．

点评 本题考查了空间几何体的性质，空间直线的位置关系，直线平面的平行关系，掌握好定理，转化直线的为关系判断即可，属于中档题．