Question

【题目】设函数f（x）=lnx+ ，m∈R
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；
（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣ 零点的个数；
（3）（理科）若对任意b＞a＞0， ＜1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当m=e时， ，x＞0，

解f′（x）＞0，得x＞e，

∴f（x）单调递增；

同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

∴f（x）只有极小值f（e），

且f（e）=lne+ =2，

∴f（x）的极小值为2

（2）解：∵g（x）= = =0，

∴m= ，

令h（x）=x﹣ ，x＞0，m∈R，

则h（1）= ，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），

令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，

∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0， ）；

同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，

∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞， ）．

∴当m≤0，或m= 时，g（x）只有一个零点；

当0＜m＜ 时，g（x）有2个零点；

当m＞ 时，g（x）没有零点

（3）解：（理）对任意b＞a＞0， ＜1恒成立，

等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；

设h（x）=f（x）﹣x=lnx+ ﹣x（x＞0），

则h（b）＜h（a）．

∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；

∵h′（x）= ﹣ ﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，

∴m≥﹣x2+x=﹣ + （x＞0），

∴m≥ ；

对于m= ，h′（x）=0仅在x= 时成立；

∴m的取值范围是[ ，+∞）

【解析】（1）当m=e时， ，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．（2）由g（x）= = =0，得m= ，令h（x）=x﹣ ，x＞0，m∈R，则h（1）= ，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）﹣ 零点的个数．（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．