Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过点的直线与椭圆交于两点.

（1）若直线的斜率为1, 且，求椭圆的标准方程；

（2）若（1）中椭圆的右顶点为，直线的倾斜角为，问为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.

Answer 1

【答案】（1） （2） 最大值为.

【解析】

试题（1）由题可设出椭圆方程；，先利用条件离心率为，可推出的关系。再结合过点且的直线与椭圆方程联立，并设出交点的坐标，利用条件，可得点坐标，再代入椭圆方程，可得。

（2）可先按倾斜角为是否为直角，分别设过点直线方程并与（1）中的椭圆方程联立，通过设出直线与椭圆的交点，再利用，建立关于的关系式，观察可运用均值不等式求出最大值。

试题解析：（1）设椭圆方程为：

由得，又知，故

从而椭圆方程简化为：.

直线，设

由消去得：

故 ①

由知： ②

由①②得.易知,故,将其代入椭圆方程得

因此，椭圆方程为：

（2）当时，直线.

由得，

故

当时，设直线，

由得

综上可知：当时，最大，最大值为.