题目内容
已知向量
、
、
满足条件
+
+
=0，|
|=|
|=|
|=r,求证：△P1P2P3是正三角形.
思路分析：建立坐标系，设P1、P2、P3三点坐标，利用坐标运算可证.
证明：建立如右图所示的平面直角坐标系.设逆时针旋转正半轴Ox到、、所成的角分别为θ1、θ2、θ3，不妨设0°≤θ1＜θ2＜θ3＜360°，则向量=(rcosθ1,rsinθ1), =(rcosθ2,rsinθ2),=(rcosθ3,rsinθ3).
由++
=0，得cosθ1+cosθ2+cosθ3=0,即cosθ1+cosθ2=-cosθ3.
sinθ1+sinθ2+sinθ3=0,即sinθ1+sinθ2=-sinθ3.
两式平方相加得cos(θ2-θ1)=-
，
同理，得cos(θ3-θ2)=-
.
由0°≤θ1＜θ2＜θ3＜360°知θ2-θ1=120°,θ3-θ2=120°,所以P1、P2、P3是半径为r的圆周上的三等分点，即△P1P2P3为正三角形.
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，
，
满足条件
、
、
满足条件
=0,|
|=|
|=|
|=1,则△P1P2P3的形状是( )
，
，
满足条件
，
，
是正三角形．
，
，
满足条件
，
，求证
是正三角形．