题目内容
在△ABC中，已知acosB+bcosA=b，
（1）求证C=B；
（2）若∠ABC的平分线交AC于D，且sin
=
，求
的值．
（1）求证C=B；
（2）若∠ABC的平分线交AC于D，且sin
| A |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| BD |
| DC |
（1）∵acosB+bcosA=b，由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB，
∴sin（A+B）=sinB，即sinC=sinB，∴b=c，∴C=B．
（2）△BCD中，用正弦定理可得
=
，由第一问知道C=B，而BD是角平分线，
∴
=2cos
．
由于三角形内角和为180°，设 A=x，B=2α=C，那么4α+x=180°，故α+
=45°．
∵sin
=
，∴cos
=
，∴cosα=cos（45°-
）=cos45°cos
+sin45°sin
=
．
∴
=2cos
=2cosα=
．
∴sin（A+B）=sinB，即sinC=sinB，∴b=c，∴C=B．
（2）△BCD中，用正弦定理可得
| BD |
| DC |
| sinC | ||
sin
|
∴
| BD |
| DC |
| C |
| 2 |
由于三角形内角和为180°，设 A=x，B=2α=C，那么4α+x=180°，故α+
| A |
| 4 |
∵sin
| A |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| A |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| A |
| 4 |
| A |
| 4 |
| A |
| 4 |
7
| ||
| 10 |
∴
| BD |
| DC |
| C |
| 2 |
7
| ||
| 5 |
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