题目内容

已知点P（1，-2）是以Q为圆心的圆Q：（x-4）²+（y-2）²=9，以PQ为直径作圆与圆Q交于A、B两点，连接PA，PB，则∠APB的余弦值为________．

$\text{[math]}$
分析：根据题意求出以PQ为直径的圆的方程，利用直径所对的圆周角是直角，和解直角三角形，求得sin∠APQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用二倍角公式即可求得∠APB的余弦值．
解答：

解：以PQ为直径的圆圆心为 $\text{[math]}$ ，半径为 $\text{[math]}$ ，
∴圆的方程为：（x- $\text{[math]}$ ）²+y²= $\text{[math]}$ ，
根据题意知AP⊥AQ，AQ=3，
∴在△PAQ中，sin∠APQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴cos∠APB=cos2∠APQ=1-2sin²∠APQ=1-2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查的知识有圆周角定理，解直角三角形，以及三角函数的恒等变形等，根据题意解直角三角形是解题的关键，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力．