Question

已知a、b是非零向量,当a+tb(t∈R)的模取最小值时,

(1)求t的值;

(2)已知a与b共线同向,求证:b⊥(a+tb).

Answer 1

(1)解：令m=|a+tb|,θ为a、b夹角,则

m²=|a|²+2a·tb+t|b|²

=t²|b|²+2t|a|·|b|cosθ+|a|²

=|b|²(t+cosθ)²+|a|²sin²θ.

∴当t=-cosθ时,|a+tb|有最小值|a|²sinθ.

(2)证明:∵a与b共线且方向相同,故cosθ=1.

∴t=-.∴b·(a+tb)=a·b+t|b|²=|a|·|b|-|a|·|b|=0.

∴b⊥(a+tb).