Question

1．已知f（x）=$\frac{2（x+1）^{2}+3ax}{{x}^{2}+1}$，a为常数，若f（x）最大值为M，最小值为m，则M+m=4．

Answer 1

分析 根据分式函数的性质，结合函数奇偶性的性质进行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{2（x+1）^{2}+3ax}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2+（4+3a）x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2}{{x}^{2}+1}$+$\frac{（4+3a）x}{{x}^{2}+1}$=2+$\frac{（4+3a）x}{{x}^{2}+1}$，
则f（x）-2=$\frac{（4+3a）x}{{x}^{2}+1}$为奇函数，
设g（x）=f（x）-2=$\frac{（4+3a）x}{{x}^{2}+1}$，
则g（x）的最大值g（x）_max=f（x）_max-2=M-2，g（x）的最小值g（x）_min=f（x）_min-2=m-2，
∵g（x）是奇函数，
∴g（x）_max+g（x）_min=0，
即M-2+m-2=0，
则M+m=4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查函数最值的求法，根据条件构造奇函数，利用奇函数最值的对称性是解决本题的关键，本题综合考查函数性质的综合应用．