Question

【题目】已知数列{an}满足a1＝3，a2，且2an+1＝3an﹣an-1.

（1）求证：数列{an+1﹣an}是等比数列，并求数列{an}通项公式；

（2）求数列{nan}的前n项和为Tn，若对任意的正整数n恒成立，求k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；；（2）.

【解析】

（1）由2an+1＝3an﹣an-1得，又a2﹣a1，则数列{an+1﹣an}是等比数列，进而求出其通项公式；

（2）根据（1）中求得的结果，先求出nan，再利用错位相减法求前n项和Tn，然后求出k的取值范围.

（1）证明：∵2an+1＝3an﹣an-1，∴，

又a2﹣a1，∴数列{an+1﹣an}是首项为，公比为的等比数列.

∴，

即a2﹣a1，a3﹣a2，…，an﹣an-1（）.

等式两边同时相加得an-a1（），

则，

又n＝1也适合上式，

∴.

（2）∵①，

∴②，

由①﹣②得

∴，

又，即，

∴，

令 ，

由，

∴当时，；当时，.

∴，

.