题目内容

设向量c=ma+nb(m,n∈R),已知|a|=2,|c|=4,a.⊥c,b·c=-4,且b与c的夹角为120°,求m,n的值.

解:∵a⊥c,∴a·c=0.

又c=ma+nb,∴c·c=(ma+nb)·c,

即|c|2=ma·c+nb·c∴|c|2=nb·c.

由已知|c|2=16,b·c=-4,

∴16=-4n.∴n=-4.

从而c=ma-4b.

∵b·c=|b||c|cos120°=-4,

∴|b|·4·(-)=-4.∴|b|=2.

由c=ma-4b,得a·c=ma2-4a·b,

∴8m-4a·b=0,即a·b=2m.①

再由c=ma-4b,得b·c=ma·b-4b2

∴ma·b-16=-4,即ma·b=12.②

联立①②，得2m2=12,即m2=6.

∴m=±.故m=±,n=-4.

练习册系列答案
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已知向量
u
=(x，y)与向量
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=(y，2y-x)的对应关系可用
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=f(
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)表示．
（1）设
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=(1，0)，求向量f(
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（2）证明：对于任意向量
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．
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=（4，-6，2），
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=（-3，12，t），若
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+n
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．
已知向量
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=(x，y)与
v
=(y，2y-x)的对应关系用
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=f(
u
)表示．
（Ⅰ）设
a
=(1，1)，
b
=(1，0)，求向量f(
a
)及f(
b
)的坐标；
（Ⅱ）求使f(
c
)=(p，q)，（p，q为常数）的向量
c
的坐标；
（Ⅲ）证明：对于任意向量
a
，
b
及常数m，n恒有f(m
a
+n
b
)=mf(
a
)+nf(
b
)成立．
设向量
a
=（-1，3，2），
b
=（4，-6，2），
c
=（-3，12，t），若
c
=m
a
+n
b
，则t=______，m+n=______．

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