Question

数列{a_n}满足：a_n+1=3a_n-3a_n²，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）若数列{a_n}为常数列，求a₁的值；
（Ⅱ）若a1=

1

2

，求证：

2

3

＜a2n≤

3

4

；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a_2n}单调递减．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知a_n+1=a_n，an=

an+3 2

，由此可推导出a=0，或a=

2

3

．
（Ⅱ）用数学归纳法证明

2

3

＜a2n≤

3

4

．
（Ⅲ）因为a_2n-a_2n-2=3（3a_2n-2-3a_2n-2²）-3（3a_2n-2-3a_2n-2²）²-a_2n-2=-27a_2n-2⁴+54a_2n-2³-36a_2n-2²+8a_2n-2（n≥2），
所以只要证明-27a_2n-2⁴+54a_2n-2³-36a_2n-2²+8a_2n-2＜0，然后用分析法能够证明数列{a_2n}单调递减．

解答：解：（Ⅰ）因为数列{a_n}为常数列，
所以a_n+1=a_n，an=

an+3 2

，
解得a_n=0或an=

2

3

，
由n的任意性知，a₁=0或a1=

2

3

，
所以a=0，或a=

2

3

；
（Ⅱ）用数学归纳法证明

2

3

＜a2n≤

3

4

，
1当n=12时，a2=

3

4

3，符合上式，
②假设当n=k（k≥1）时，

2

3

＜a2k≤

3

4

，
因为

2

3

＜a2k≤

3

4

，
所以

9

16

≤3a2k-3

a

2 2k

＜

2

3

，
即

9

16

≤a2k+1＜

2

3

，
从而

2

3

＜3a2k+1-3

a

2 2k+1

≤

189

256

，
即

2

3

＜a2k+2≤

189

256

，
因为

189

256

＜

3

4

，
所以，当n=k+1时，

2

3

＜a2k+2≤

3

4

成立，
由①，②知，

2

3

＜a2k≤

3

4

；
（Ⅲ）因为a_2n-a_2n-2=3（3a_2n-2-3a_2n-2²）-3（3a_2n-2-3a_2n-2²）²-a_2n-2=-27a_2n-2⁴+54a_2n-2³-36a_2n-2²+8a_2n-2（n≥2），
所以只要证明-27a_2n-2⁴+54a_2n-2³-36a_2n-2²+8a_2n-2＜0，
由（Ⅱ）可知，a_2n-2＞0，所以只要证明-27a_2n-2³+54a_2n-2²-36a_2n-2+8＜0，
即只要证明27a_2n-2³-54a_2n-2²+36a_2n-2-8＞0，
令f（x）=27x³-54x²+36x-8，
f'（x）=27×3x²-54×2x+36=9（9x²-12x+4）=9（3x-2）²≥0，
所以函数f（x）在R上单调递增，
因为

2

3

＜a2n-2≤

3

4

，所以f(a2n-2)＞f(

2

3

)=0，
即27a_2n-2³-54a_2n-2²+36a_2n-2-8＞0成立，
故a_2n＜a_2n-2，
所以数列{a_2n}单调递减．

点评：本题以数列为载体，考查不等式的证明，解题时要注意数列归纳法和分析法的证明技巧．