Question

【题目】已知,如图,在直二面角中,四边形是边长为的正方形,,且.

（Ⅰ）求证:平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值;

（Ⅲ）在线段（不包含端点）上是否存在点,使得与平面所成的角为;若存在,写出的值,若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得,结合,可得平面.

（Ⅱ）以为原点,以的方向分别为轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量,设平面的法向量,计算可得二面角的余弦值为.

（Ⅲ）设存在点满足题意，设,则,据此得到关于的方程，解方程可得.则在线段上存在点满足题意.

试题解析：

（Ⅰ）证明:因为在直二面角中,四边形是正方形,

所以,则平面,

又因为平面,所以,

因为,即,

所以平面.

（Ⅱ）以为原点,以的方向分别为轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系

则,,,.

平面的法向量,设平面的法向量,

因为,,

所以即

令,解得,则,

所以二面角的余弦值为.

（Ⅲ）设存在点,使得与平面所成的角为,且,

则,,则有,

解得（舍）.

所以在线段上存在点,使得与平面所成的角为,.