Question

【题目】如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；

(2)求证：AC⊥EF.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）连接，，由，分别为、的中点，知，由此能够证明平面．

（2）作中点，连接，，由，分别是，的中点，知，由面，知面，故，再由，得到平面，由此能够证明．

(1)如图所示，连接CD1.

∵P、Q分别为AD1、AC的中点．∴PQ∥CD1.

而CD1平面DCC1D1，PQ//平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1.

(2)如图，取CD中点H，连接EH，FH.

∵F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH//D1D.

而D1D⊥面ABCD，

∴FH⊥面ABCD，而AC面ABCD，

∴AC⊥FH.

又E、H分别为BC、CD的中点，∴EH∥DB.

而AC⊥BD，∴AC⊥EH.

因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC⊥平面EFH，

而EF平面EFH，所以AC⊥EF.