Question

已知函数f（x）=x²+alnx（a为常数）．
（1）若a=-4，讨论f（x）的单调性；
（2）若a≥-4，求f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x的值；
（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=x²-4lnx（x＞0），f'（x）=2x-
∴当x∈（0，时，f（x）是减函数；
当x∈[，+∞），f（x）是增函数．
（2）a≥-4时，f（x）=x²+alnx，x∈[1，e]，f'（x）=．
若a≥-2，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，e]上递增，
则当x=1时，f（x）取最小值f（1）=1；
若-4≤a＜-2，f（x）在[1，]递减，在[，e]上递增，
则当x=时，f（x）取最小值f（）=-+aln（-）．
（3）对x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x成立，
即x²+alnx≤（a+2）x，
即a（x-lnx）≥x²-2x，
而x∈[1，e]，x＞lnx，
故，记，x∈[1，e]，≥0（仅当x=1时取等号）
∴
∴所求a的取值范围是[，+∞]．
分析：（1）将a=-4代入，我们易得到函数f（x）的解析式，进而求出函数的导函数的解析式，分析导函数的符号，即可分析出f（x）的单调性；
（2）若a≥-4，我们对a进行分类讨论，易确定出函数f（x）在[1，e]上的单调性，进而可以求出f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x的值；
（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x都成立，即a（x-lnx）≥x²-2x，构造函数，可将问题转化为一个函数恒成立问题，由此求出函数的最小值，即可得到结论．
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，求不等式在某个区间上恒成立，往往要构造函数，利用导数法，求出函数的最值，进而得到答案．