Question

如图是一块长方形区域ABCD，AD=2（km），AB=1（km）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE=α（0≤α≤），探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．
（1）当0≤α＜时，写出S关于α的函数表达式；
（2）当0≤α≤时，求S的最大值．
（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG=，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．

Answer 1

【答案】分析：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足，讨论α的范围，当0≤α≤时，E在边AB上，F在线段BH上，根据S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF，当＜α＜时，E在线段BH上，F在线段CH上，S=S_△OEF．
（2）当0≤α≤时，利用基本不等式求出S的最大值，注意等号成立的条件；
（3）在“一个来回”中，求出OE共转动的角度，其中点G被照到时，共转的角度，从而可求出“一个来回”中，点G被照到的时间．
解答：解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．
①当0≤α≤时，
E在边AB上，F在线段BH上（如图①），
此时，AE=tanα，FH=，…（2分）
∴S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF
=．   …（4分）
②当＜α＜时，
E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），
此时，EH=，FH=，…（6分）
∴EF=．
∴S=S_△OEF=．
综上所述，…（8分）
（2）当0≤α≤时，S=，
即S=．             …（10分）
∵0≤α≤，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．
∴≥2．
∴S≤2-．
当tanα=-1时，S取得最大值为2-．    …（12分）
（3）在“一个来回”中，OE共转了2×=．
其中点G被照到时，共转了2×=．  …（14分）
则“一个来回”中，点G被照到的时间为（分钟）．…（16分）
点评：本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，同时考查了利用基本不等式求最值问题，属于中档题．