题目内容
在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中，A、B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η，且ξ+η=3．| 对阵队员 | A队队员胜 | A队队员负 | ||||
| A1对B1 |
|
| ||||
| A2对B2 |
|
| ||||
| A3对B3 |
|
|
（Ⅱ）求ξ的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强．
分析：（1）A队得分为1分包括第一个队员胜且后两个负，第二个队员胜且一三两个队员负，第三个队员胜且一二两个负，相互独立事件同时发生的概率．
（2）看出随机变量的可能的取值，求出各个取值对应的概率，得到分布列，求出期望，比较两个期望的大小，得到结论．
（2）看出随机变量的可能的取值，求出各个取值对应的概率，得到分布列，求出期望，比较两个期望的大小，得到结论．
解答：解：（Ⅰ）设A队得分为（1分）的事件为A0，
∴P(A0)=
×
×
+
×
×
+
×
×
=
．
（Ⅱ）ξ的可能取值为3，2，1，0；P(ξ=3)=P(A0)=
×
×
=
，P(ξ=2)=
×
×
+
×
×
+
×
×
=
P(ξ=1)=
×
×
+
×
×
+
×
×
=
，
P(ξ=0)=
×
×
=
，
∴ξ的分布列为：
于是Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
，
∵ξ+η=3，
∴Eη=-Eξ+3=
．
由于Eη＞Eξ，故B队比A队实力较强．
∴P(A0)=
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 7 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 7 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 7 |
| 41 |
| 105 |
（Ⅱ）ξ的可能取值为3，2，1，0；P(ξ=3)=P(A0)=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 7 |
| 12 |
| 105 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 7 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 7 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 7 |
| 40 |
| 105 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 7 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 7 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 7 |
| 41 |
| 105 |
P(ξ=0)=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 7 |
| 12 |
| 105 |
∴ξ的分布列为：
于是Eξ=0×
| 12 |
| 105 |
| 41 |
| 105 |
| 40 |
| 105 |
| 12 |
| 105 |
| 157 |
| 105 |
∵ξ+η=3，
∴Eη=-Eξ+3=
| 158 |
| 105 |
由于Eη＞Eξ，故B队比A队实力较强．
点评：本题主要考查的是随机变量的分布列和数学期望问题．这是概率与统计大题考查的主阵地，预计还有可能与函数、导数、方程、数列以及不等式等知识综合考查．
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