Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若是的一个极值点，求函数表达式, 并求出的单调区间；

（Ⅱ）若，证明当时，．

Answer 1

【答案】（1）,单调递增区间是，递减区间是（2）见解析

【解析】

（1）由题可得：，求出。再利用的正负求单调区间。

（2）把不等式证明问题转化成函数的最值处理，判断好在单调性，从而求出最小值。

解：（Ⅰ）的定义域为，

．

由题设知，，所以．

经检验满足已知条件，

从而．

当时，；当时，．

所以单调递增区间是，递减区间是．

（Ⅱ）设，

则

⑴当时，，

，即

⑵当时，

在区间上单调递减

，即

综上得, 当且时，成立．

（Ⅱ）解法二：⑴若，则

⑵若，则

当时，

设，

在区间上单调递减

，则

综上得, 当且时，成立．