Question

【题目】如图， 为半圆 的直径，点 是半圆弧上的两点， ， ．曲线 经过点 ，且曲线 上任意点 满足： 为定值.

（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与曲线 交于不同的两点 ，求 面积最大时的直线 的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根据椭圆的定义，曲线 是以 为焦点的椭圆，其中 ， .
，

， ，曲线 的方程为 ；
（Ⅱ）设过点 的直线 的斜率为 ，则 .
由 得 ，
，
，
又 点 到直线 的距离 ， 的面积 .
令 ，则 .
当且仅当 ，即 时， 面积取最大值 .
此时直线 的方程为 或 ．
【解析】(1)由条件先求出c,再由定义求出a,从而 求出椭圆的方程;
(2)设出过点D的直线的方程,代入到椭圆方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,结合韦达定理和弦长公式将三角形的面积表示为关于k的函数式,由均值不等式求最值.