Question

【题目】平面直角坐标系中，椭圆C：（）左，右焦点分别为，，且椭圆的长轴长为，右准线方程为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l过椭圆C的右焦点，且与椭圆相交与A，B（与左右顶点不重合）

（i）椭圆的右顶点为M，设的斜率为，的斜率为，求的值；

（ii）若椭圆上存在一点D满足，求直线l的方程.

Answer 1

【答案】（1）;（2）（i）;（ii）.

【解析】

（1）根据椭圆长轴长和右准线以及，求得的值，进而求得椭圆的方程.

（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理.

（i）求得，结合韦达定理求得的值.

（ii）利用求得点坐标，代入椭圆方程，由此求得直线的方程.

（1）由于椭圆的长轴长为，右准线方程为，所以，解得，所以椭圆方程为.

（2）依题意.设，设直线的方程为，由消去并化简得，所以，，所以，.

（i）

.

（ii）设，由得，即，即，代入椭圆方程得，

化简得，由于在椭圆上，所以，所以上式可化为，即，即，解得，所以直线的方程为，即.